Cálculo Mental Rápido
CALCULO RÁPIDO I
(Procedimientos fáciles de cálculo mental)
(Procedimientos fáciles de cálculo mental)
Aquí se han
recogido algunos procedimientos de cálculo mental rápido, simples y fáciles de
aprender. Los que utilicen estos procedimientos deben recordar que su dominio
eficaz presupone no su aplicación mecánica, sino completamente consciente y
además, un entrenamiento más o menos prolongado. Pero una vez aprendidos los
procedimientos que recomendamos, pueden hacerse cálculos mentales rápidos con
la misma seguridad que si se escribieran.
1.
Multiplicación por un número dígito.
Para
multiplicar mentalmente un número por un factor dígito (por ejemplo, 27 * 8),
se opera empezando por multiplicar no las unidades, como en el cálculo escrito,
sino las decenas del multiplicando (20 * 8 = 160), después se multiplican las
unidades (7 * 8 = 56) y luego se suman ambos resultados (160 + 56 = 216).
Conviene
saber de memoria la tabla de multiplicar hasta 19 * 9.
Sabiendo
esta tabla se puede multiplicar mentalmente, por
ejemplo, 147 * 8, así:
147 * 8 =
140 * 8 + 7 * 8 = 1120 + 56 = 1176.
34 * 7 = 30
* 7 + 4 * 7 = 210 + 28 = 238.
47 * 6 = 40
* 6 + 7* 6 = 240 + 42 = 282.
Cuando uno
de los números que se multiplica puede descomponerse en factores primos,
resulta cómodo multiplicar sucesivamente por estos factores. Por
ejemplo:
1.1); 225 * 6 = 225 * 2 * 3 = 450 * 3 = 1350.
1
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2
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3
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4
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5
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6
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7
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8
|
9
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11
|
22
|
33
|
44
|
55
|
66
|
77
|
88
|
99
|
|
12
|
24
|
36
|
48
|
60
|
72
|
84
|
96
|
108
|
|
13
|
26
|
39
|
52
|
65
|
78
|
91
|
104
|
117
|
|
14
|
28
|
42
|
56
|
70
|
84
|
98
|
112
|
126
|
|
15
|
30
|
45
|
60
|
75
|
90
|
105
|
120
|
135
|
|
16
|
32
|
48
|
64
|
80
|
96
|
112
|
128
|
144
|
|
17
|
34
|
51
|
68
|
85
|
102
|
119
|
136
|
153
|
|
18
|
36
|
54
|
72
|
90
|
108
|
126
|
144
|
162
|
|
19
|
38
|
57
|
76
|
95
|
114
|
133
|
152
|
171
|
1
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
||
11
|
121
|
132
|
143
|
154
|
165
|
176
|
187
|
198
|
209
|
||
12
|
132
|
144
|
156
|
168
|
180
|
192
|
204
|
216
|
228
|
||
13
|
143
|
156
|
169
|
182
|
195
|
208
|
221
|
234
|
247
|
||
14
|
154
|
168
|
182
|
196
|
210
|
224
|
238
|
252
|
266
|
||
15
|
165
|
180
|
195
|
210
|
225
|
240
|
255
|
270
|
285
|
||
16
|
176
|
192
|
208
|
224
|
240
|
256
|
272
|
288
|
304
|
||
17
|
187
|
204
|
221
|
238
|
255
|
272
|
289
|
306
|
323
|
||
18
|
198
|
216
|
234
|
252
|
270
|
288
|
306
|
324
|
342
|
||
19
|
209
|
228
|
247
|
266
|
285
|
304
|
323
|
342
|
361
|
2.
Multiplicación por un número de dos cifras.
La
multiplicación por un número de dos cifras se procura simplificar para el
cálculo mental reduciéndola a una multiplicación más habitual por un número
dígito. Cuando el multiplicando es dígito, se considera mentalmente que es
multiplicador y las operaciones se hacen como se dijo en el 1) Por
ejemplo:
6 * 28 = 28
* 6 = 20 * 6 + 8 * 6 = 120 + 48 = 168.
Si los dos
factores tienen dos cifras, uno de ellos se descompone en decenas y unidades. 2)Por
ejemplo:
29 * 12 =
29 * 10 + 29 * 2 = 290 + 58 = 348.
16 * 41 =
16 * 40 + 16 * 1 = 640 + 16 = 656
41 * 16 =
41 * 10 + 41 * 6 = 410 + 246 = 656.
Resulta más
conveniente descomponer en decenas y unidades el factor en que éstas vienen
expresadas con números menores.
Si el
multiplicando o el multiplicador puede descomponerse mentalmente y con
facilidad en números dígitos (por ejemplo, 14 = 2 * 7), se aprovecha esta
circunstancia para disminuir uno de los factores, aumentando el otro las mismas
veces (compárese con el 3). Por
ejemplo:
45 * 14 =
(45 * 2) * (14 / 2) = 90 * 7 = 630.
3.
Multiplicación y división por 4 y por 8.
Para
multiplicar, mentalmente, un número por 4, se duplica dos veces. Por
ejemplo:
112 * 4 =
224 * 2 = 448.
335 * 4 =
670 * 2 = 1340.
Para
multiplicar, mentalmente, un número por 8, se duplica tres veces. Por
ejemplo:
217 * 8 =
434 * 4 = 868 * 2 =1736.
Otro
procedimiento de multiplicar mentalmente por 8 consiste en añadirle un cero al
multiplicando y restarle el duplo de dicho multiplicando (es decir, en
definitiva se multiplica por 10 - 2:
217 * 8 =
2170 - 434 = 1736.
Resulta aún
más cómodo proceder así:
217 * 8 =
200 * 8 + 17 * 8 = 1600 + 136 = 1736.
Para
dividir un número por 4 mentalmente, se divide dos veces por dos. Por
ejemplo:
76 / 4 = 38
/ 2 = 19.
236 / 4 =
118 / 2 = 59.
20/4 y 36/4
=> esto es 5 y 9 = 59.
Para
dividir un número por 8 mentalmente, se divide tres veces por dos. Por
ejemplo:
464 / 8 =
232 / 4 =116 / 2 = 58.
516 / 8 =
258 / 4 = 129 / 2 = 64’5.
51 / 8 = 6
y 36/8 = 4 y 4/8 = ½ = 0,5 esto es 64,5.
4.
Multiplicación por 5 y por 25.
Para
multiplicar, mentalmente, un número por 5, se multiplica por 10 es decir, se le
añade al número un cero y se divide por dos. Por
ejemplo:
74 * 5 =
740 / 2 = 370.
243 * 5 =
2430 / 2 = 1215.
Cuando el
número que se multiplica por 5 es par, resulta más cómodo dividir primeramente
por 2 y añadir después un cero a la cantidad obtenida. Por
ejemplo:
74 * 5 =
74/2 * 10 = 370.
Para
multiplicar un número por 25 mentalmente, se multiplica por 100/4, es decir, si
el número es múltiplo de cuatro, se divide por 4 y al cociente se le añaden dos
ceros. Por ejemplo:
72 * 25 = 72/4 * 100 = 1800 + 0: R = 0
73 * 25 = 73/4 * 100 = 1800 + 25 R = 1
74 * 25 = 74/4 * 100 = 1800 + 50
R = 2
75 * 25 = 75/4 * 100 = 1800 + 75
R = 3
76 * 25 = 76/4 * 100 = 1900 + 0
R = 0
|
|||
Si al
dividir el número por 4 queda resto,
|
|||
cuando el resto es:
|
1
|
se le añade al cociente:
|
25
|
“
|
2
|
“
|
50
|
“
|
3
|
“
|
75
|
La base, en
que funda este procedimiento queda aclarada por el hecho de que 100 / 4 = 25;
200 / 4 = 50; y 300 / 4 = 75.
5.
Multiplicación por 1 ½, por 1 ¼, por 2 ½ y por ¾.
Para
multiplicar, mentalmente, un número por 1 ½, se le añade al multiplicando su
mitad. Por ejemplo:
34 * 1 ½ =
34 + 17 = 51.
22 * 1 ½ =
22 + 11 = 33.
23 * 1 ½ =
23 + 11 ½ = 34 ½ (34’5).
Para
multiplicar, mentalmente, un número por 1 ¼, se le añade al multiplicando su
cuarta parte.Por ejemplo:
48 * 1 ¼ =
48 + 12 = 60.
58 * 1 ¼ =
58 + 14 ½ = 72 ½ (72’5).
Para
multiplicar un número por 2 ½ mentalmente, al número duplicado se la añade la
mitad del multiplicando. Por
ejemplo:
18 * 2 ½ =
36 + 9 = 45.
39 * 2 ½ =
78 + 19 ½ = 97 ½ (97’5). Otro procedimiento consiste en multiplicar por 5 y
dividir por dos: 18 * 2 ½ = 90 : 2 = 45.
Para
multiplicar un número por ¾ mentalmente (es decir, para hallar las ¾ partes de
dicho número), se multiplica por 1 ½ y se divide por dos. Por
ejemplo:
30 * ¾ = 30
* 1 ½ / 2 = 45 / 2 = 22’5.
30( *¼+¼) = 30/2 + 30/4 = 15 + 15/2 = 22,5.
Una
variante de este procedimiento consiste en que al multiplicando se le resta su
cuarta parte o a la mitad del multiplicando se le añade la mitad de esta mitad.
6.
Multiplicación por 15, por 125, por 75.
La multiplicación
por 15, se sustituye por la multiplicación por 10 y por 1 ½ (porque 10 * 1 ½ =
15). Por ejemplo:
18 * 15 =
18 * 1 ½ * 10 = 27 * 10 = 270.
54 * 15 =
54 * 1 ½ * 10 = 810.
La
multiplicación por 125 se sustituye por la multiplicación por 100 y por 1 ¼
(porque 100 * 1 ¼ = 125). Por
ejemplo:
26 * 125 =
26 * 1 ¼ * 100 = (26 + 6,5)100 = 3250.
47 * 125 =
47 * 100 * 1 ¼ = 4700 + 4700/4 = 4700 + 1175 = 5875.
= (47 +
11,75) * 100; => 58,75 * 100 = 5875.
La
multiplicación por 75 se sustituye por una multiplicación por 100 y por ¾
(porque 100 * ¾ = 75). Por
ejemplo:
18 * 75 =
18 * 100 * ¾ = 1800 * ¾ = 1800 * 1 ½ / 2 = (1800 + 900)/2 = 1350.
=
[(3*18/2)/2]* 100 = [(54/2)/2]* 100 = (27/2) * 100 = 13,5 * 100 = 1350.
Observación:
Algunos de los ejemplos citados también pueden resolverse fácilmente por el
Procedimiento 1.2.
18 * 15 =
18 * 5 * 3 = 90 * 3 = 270.
26 * 125 =
26 * 5 * 5 * 5 = 130 * 5 * 5 = 650 * 5 = 3250.
7.
Multiplicación por 9 y por 11.
Para
multiplicar mentalmente un número por 9, se le añade al número un cero y se le
resta el multiplicando. Por
ejemplo:
62 * 9 =
620 - 62 = 600 - 42 = 558.
73 * 9 =
730 - 73 = 700 - 43 = 657.
Para
multiplicar un número por 11 mentalmente, se le añade al número un cero y se le
suma el multiplicando. Por
ejemplo:
87 * 11 =
870 + 87 = 957.
Otra
forma:
53 x 11 =
5(5+3)3 = 583
87 x 11 =
8(8+7)7 = 8+1(5)7 = 957
Cuando la
suma de los dos números da mayor que 9 se lleva una unidad.
8. División
por 5, por 1 ½ y por 15.
Para
dividir mentalmente, un número por 5, se separa con una coma la última cifra
del duplo del número. Por
ejemplo:
68 / 5 =
136 /10 = 13’6.
237 / 5 =
474 / 10 = 47’4.
Para
dividir un número por 1 1/2 mentalmente, se divide por 3 el duplo del número. Por
ejemplo:
36 / 1 ½ =
72 / 3 = 24.
53 / 1 ½
=106 / 3 = 35 1/3.
Para
dividir un número por 15 mentalmente, se divide por 30 el duplo de dicho
número. Por ejemplo:
240 / 15 =
480 / 30 = 48 / 3 =16.
462 / 15 =
924 / 30 = (924/6) / (30/6) = 154/5 = 30’8.
= (924 / 30
= 308 / 10 = 30’8).
9.
Elevación al cuadrado.
Para elevar
al cuadrado un número terminado en 5 (por ejemplo, 85) se multiplica el número
de decenas (8) por sí mismo más una unidad (8 * 9 = 72) y se le añade 25 (en
nuestro ejemplo se obtiene 7225). Otros
ejemplos:
25*25 =>
2 * 3 = 6; =625.
45*45 =>
4 * 5 = 20; =2025.
145*145=>
14 * 15 = 210; =21025.
Este
procedimiento se deduce de la fórmula
(10X + 5 )² = 100X² + 100X +
25 = 100X* ( X + 1) + 25.
Como ven aparece el "x(x+1) o n(n+1)" como lo veáis mejor.
El
procedimiento que hemos indicado puede aplicarse también a las fracciones
decimales que terminan en la cifra 5:
8,5² = 72,25 "se hace como si fuera entero y se corre la coma 2 veces la cantidad de decimales "
14,5² = 210,25
0,35² = 0,1225
etc.
Como 0,5 =
½ y 0,25 = ¼, el método de este procedimiento puede utilizarse también para
elevar al cuadrado los números que terminan en la fracción ½ :
( 8 ½)² = 72 ¼
(14 ½)² = 210 ¼,
etc,
Cuando la
elevación al cuadrado se hace mentalmente, suele ser cómodo utilizar la
fórmula:
(a ± b)² =a² +b² ± 2 ab. Por
ejemplo:
41² = 40² + 1 + 2 *
40 = 1601 + 80 = 1681.
69² = 70² + 1 - 2 *
70 = 4901 - 140 = 4761.
36² = (35 + 1
)2 = 1225 + 1 + 2 * 35 = 1296.
Este
procedimiento resulta cómodo cuando los números terminan en 1, 4, 6 y 9.
10.
Cálculos por la fórmula (a + b)(a - b) = a² - b²
Supongamos
que hay que hacer mentalmente la multiplicación 52 * 48. Nos figuramos estos
factores en la forma (50 + 2) * (50 - 2) y aplicamos la fórmula que figura en
el encabezamiento:
(50 + 2) *
(50 - 2) = 50² - 2² = 2496.
De un modo
semejante se procede en general en todos los casos en que uno de los factores
resulta cómodo representarlo en forma de suma de dos números, y el otro, en
forma de diferencia de estos mismos números.
69 * 71 =
(70 - 1) * (70 + 1) = 4899.
33 * 27 =
(30 + 3) * (30 - 3) = 891.
53 * 57 =
(55 - 2) * (55 + 2) = 3021.
84 * 86 =
(85 - 1) * (85 + 1) = 7224.
Este mismo
procedimiento puede utilizarse también eficazmente para los cálculos del tipo
siguiente:
7 ½ * 6 ½ =
(7 + ½) * ( 7 - ½) = 48 ¾
11 ¾ * 12 ¼
= (12 - ¼) * (12 + ¼) = 143 15/16.
Conviene
recordar que 37 * 3 = 111. Recordando esto es fácil multiplicar mentalmente el
número 37 por 6, 9, 12, etc.
37 * 6 = 37
x 3 * 2 = 222.
37 * 9 = 37
* 3 * 3 = 333.
37 * 12 =
37 * 3 * 4 = 444.
Problemas y
Experimentos Recreativos de "Yakov Perelman"
37 * 15 =
37 * 3 * 5 = 555, etc,
Conviene
recordar que 7 * 11 * 13 = 1001. Recordando esto es fácil practicar mentalmente
multiplicaciones del tipo
77 *
13 = 1001
|
91 *
11 = 1001
|
143 *
7 = 1001
|
77 *
26 = 2002
|
91 *
22 = 2002
|
143
* 14 = 2002
|
77 * 39 = 3003
|
91 * 33 = 3003
|
143 * 21 = 3003
|
77x13n
= 1001n
|
91x11n
= 1001n
|
143x7n
= 1001n
|
Aquí sólo
se ha hecho mención de los procedimientos mentales más fáciles y de uso más
frecuente de multiplicación, división y elevación al cuadrado. Al practicarlos,
el lector reflexivo ideará para sí toda una serie de otros procedimientos que facilitan
el trabajo de cálculo.
11.
alternativo al 2. Multiplicación por un número de dos cifras.
Veamos
como obtenemos:
17 x 15 =;
=> 10(17+5) =220 = 10(15 + 7); => 220 + (5x7) = 255.
Con la
practica sera mucho mas fácil ya que a la final uno no multiplica por 10 si no
que solamente suma el 3 del 35 = (7x5) al segundo 2 del 22 = (17+5) = (15+7)
para que le de 25 y sabemos que la solución termina en 5 así sera 255.
24 x 27
sera; 7 x4 = 28; asi que
termina en 8
20(24+7) =
620 = 20(27+4); => 620 + (7x4) = 648.
Lo podemos
resumir asi; se le suman las unidades de uno a el otro numero y el resultado se
duplica y a la unidad del resultado se le suma la decena del producto de las
unidades. Y como ya sabemos en que unidad termina se la colocamos.
En el ejemplo
anterior al 62 le sumamos el 2 del 28 y nos da 64 ahora solo le ponemos el 8
para que sea 648.
17 x 24
=>; 7 x 4 = 28; así que
termina en 8
10((24+7)+7)
= 10((17+4)+17) = 380; =>; 380 + 28 = 408
15 x 27
=>; 7 x 5 = 35; así que
termina en 5
10(27+5+5)
= 10((15 + 7)+15) = 370; =>; 370 + 35 = 405
Como ven es
mejor usar el numero mayor ya que a esta se le suman las unidades del otro dos
veces y listo tenemos el gordo para terminar igual que con los anteriores.
34 x 36 =
>; 6 x 4 = 24; asi que
termina en 4
30(34+6) =
1200 = 30(36+4); =>; 1200 + (6x4) = 1224
37 x 12 =
>; 7 x 2 = 14; así que
termina en 4
10(37+2+2+2)
= 430 = 10((12+7)+12+12); =.; 430+14=444 = [1(37) + (3x2) = 43] y 14 asi sera
444. (el 3 y el 1 se suman).
Formula
general:
ab x cd =10c(ab
+ d) + 10d(a - c) = pkw ideal a > c; o ab > cd
c*(ab + d)
+ d*(a – c),,,,,b*d
Opcional c*ab + a*d
,,,,,,,,b*d
= b x d =
qv; producto de la unidades donde; ab > cd
así sera
ab*cd = pk(w+q)v.
73 x 23 sera;
2*(73 + 3) = 152 + [(7-2)*3 = 15] = 167
y ahora las unidades
3 x 3 = 9
=> 167 y 9 serán 1679
Como ven la
formula es de utilidad cuando c = 1, o también cuando a=c osea la decena es idéntica.
Caso i) c=1
ab x 1d
=>; d x b = qv;
1(ab) +
(ad) = pkw y qv así será pk(w+q)v.
Ejemplo:
45 x 13 =
>; 3 x 5 = 15 termina en 5;
45 + 4x3 =
57 y 15 así será 5(7+1)5 = 585 !!.
174 x 16 =
>; 6 x 4 = 24;
174 + 6x17
= 276 y 24 así será 27(6+2)4 = 2784.
= 180 +
6*16 = 276 etc.
174 X 96
9*(174 + 6) + (17 – 9)*6 y 6*4 = 24
1620 + 48 =
1668 y 24 = >; 2 + 8 = 10 = >; =16704
Caso ii) a
= c
ab x ad =
>; d x b = qv;
a(ab) +
(ad) = pkw y qv así será pk(w+q)v
a(ab + d) =
pkw y qv así será pk(w+q)v
24 x 27 =
>; 7 x4 = 28;
= 2(24+7) =
62 y 28 6(2+2)8 = 648.
34 x 36 =
>; 6 x 4 = 24;
= 3(34+6) =
120 y 24 así será 12(0+2)4 = 1224
12. Suma números seguidos por la fórmula n(n +1)/2
Sumar
los números del 1 al 20
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55
11+12+13+14+15+16+17+18+19+20=10x10+(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)=
155
Entonces n
= 20 y n+1 =21 y 20/2 = 10 asi 10 x 21 = 210 = (55+155)!
13. Series
exponenciales
2n =
> 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192,……N……
3n =
> 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, 19683, 59049,………… N………..
4n = > 4, 16, 64, 256, 1024,
4096, 16384, 65536, ………………N………………..
5n = > 5, 25, 125, 625, 3125,
15625, 78125, 390625, ……….N…………………….
6n = > 6, 36, 216, 1296, 7776,
46656, 279936, …………N………………………..
7n = > 7, 49, 343, 2401, 16807,
117649, ……………N……………………………..
8n = > 8, 64, 512, 4096, 32768,
262144, ……….N
9n = > 9, 81, 729, 6561, 59049,
.....................N
14. Números primos (divisibles
por 1 y por el mismo)
1 – 2
-3-5-7-11-13-17-19-23-29-31-37-41-43-47-53-59-61-67-71-73-79-83-89-
97-101-103-107-109-113-127-131-137-139-149-151-157-163-167-173-179-181-191-
193-197-199-211-223-227-229-233-239-241-251-257-263-269-271-277-281-283-
293-307-311-313-317-331-337-347-349-353-359-367-373-379-383-389-397-401-
409-419-421-431-433-439-443-449-457-461-463-467-479-487-491-499-503-509-
521-523-541-547-557-563-569-571-577-587-593-599-601-607-613-617-619-631-
641-643-647-653-659-661-673-677-683-691-701-709-719-727-733-739-743-751-
757-761-769-773-787-797-809-811-821-823-827-829-839-853-857-859-863-877-
881-883-887-907-911-919-929-937-941-947-953-967-971-977-983-991-997-1009-
Aquí
encontrra los numeros primos hasta 2x106
http://pinux.info/primos/PRIMERS.TXT
15.
comprobar el produto
728 = 7+2+8 = 17= 1+7 = 8 x 8
x 17 = 1+7 = 8 8
12376 = 1+2+3+7+6= 19= 10= 1+0 = 1 = 64= 10 = 1+0= 1
Lo mismo se
cumple para la suma y para la división;
1345 =1+3+4+5 = 13 = 1+3=4
9765 = 9+7+6+5= 27= 2+7=9
11110 = 4 13= 1+3= 4
REVISADO y editado POR
William hoyos hincapié
Profesional en Matemáticas & Física
“Willcox27”
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He ahí que el hombre creo a dios a su imagen y semejanza
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