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jueves, 20 de febrero de 2014

Mi primer recopilación de calculo mental

Cálculo Mental Rápido





CALCULO RÁPIDO
(Procedimientos fáciles de cálculo mental)




Aquí se han recogido algunos procedimientos de cálculo mental rápido, simples y fáciles de aprender. Los que utilicen estos procedimientos deben recordar que su dominio eficaz presupone no su aplicación mecánica, sino completamente consciente y además, un entrenamiento más o menos prolongado. Pero una vez aprendidos los procedimientos que recomendamos, pueden hacerse cálculos mentales rápidos con la misma seguridad que si se escribieran. 

1. Multiplicación por un número dígito.

Para multiplicar mentalmente un número por un factor dígito (por ejemplo, 27 * 8), se opera empezando por multiplicar no las unidades, como en el cálculo escrito, sino las decenas del multiplicando (20 * 8 = 160), después se multiplican las unidades (7 * 8 = 56) y luego se suman ambos resultados (160 + 56 = 216).

Conviene saber de memoria la tabla de multiplicar hasta 19 * 9.

Sabiendo esta tabla se puede multiplicar mentalmente, por ejemplo, 147 * 8, así:

147 * 8 = 140 * 8 + 7 * 8 = 1120 + 56 = 1176.

34 * 7 = 30 * 7 + 4 * 7 = 210 + 28 = 238.

47 * 6 = 40 * 6 + 7* 6 = 240 + 42 = 282.

Cuando uno de los números que se multiplica puede descomponerse en factores primos, resulta cómodo multiplicar sucesivamente por estos factores. Por ejemplo:

1.1);        225 * 6 = 225 * 2 * 3 = 450 * 3 = 1350.


1
2
3
4
5
6
7
8
9

11
22
33
44
55
66
77
88
99

12
24
36
48
60
72
84
96
108

13
26
39
52
65
78
91
104
117

14
28
42
56
70
84
98
112
126

15
30
45
60
75
90
105
120
135

16
32
48
64
80
96
112
128
144

17
34
51
68
85
102
119
136
153

18
36
54
72
90
108
126
144
162

19
38
57
76
95
114
133
152
171





1
11
12
13
14
15
16
17
18
19

11
121
132
143
154
165
176
187
198
209

12
132
144
156
168
180
192
204
216
228

13
143
156
169
182
195
208
221
234
247

14
154
168
182
196
210
224
238
252
266


15
165
180
195
210
225
240
255
270
285


16
176
192
208
224
240
256
272
288
304


17
187
204
221
238
255
272
289
306
323


18
198
216
234
252
270
288
306
324
342

19
209
228
247
266
285
304
323
342
361



2. Multiplicación por un número de dos cifras.

La multiplicación por un número de dos cifras se procura simplificar para el cálculo mental reduciéndola a una multiplicación más habitual por un número dígito. Cuando el multiplicando es dígito, se considera mentalmente que es multiplicador y las operaciones se hacen como se dijo en el  1) Por ejemplo:

6 * 28 = 28 * 6 = 20 * 6 + 8 * 6 = 120 + 48 = 168.

Si los dos factores tienen dos cifras, uno de ellos se descompone en decenas y unidades. 2)Por ejemplo:

29 * 12 = 29 * 10 + 29 * 2 = 290 + 58 = 348.

16 * 41 = 16 * 40 + 16 * 1 = 640 + 16 = 656

41 * 16 = 41 * 10 + 41 * 6 = 410 + 246 = 656.

Resulta más conveniente descomponer en decenas y unidades el factor en que éstas vienen expresadas con números menores.

Si el multiplicando o el multiplicador puede descomponerse mentalmente y con facilidad en números dígitos (por ejemplo, 14 = 2 * 7), se aprovecha esta circunstancia para disminuir uno de los factores, aumentando el otro las mismas veces (compárese con el  3). Por ejemplo:
45 * 14 = (45 * 2) * (14 / 2) = 90 * 7 = 630.



3. Multiplicación y división por 4 y por 8.

Para multiplicar, mentalmente, un número por 4, se duplica dos veces. Por ejemplo:

112 * 4 = 224 * 2 = 448.

335 * 4 = 670 * 2 = 1340.

Para multiplicar, mentalmente, un número por 8, se duplica tres veces. Por ejemplo:

217 * 8 = 434 * 4 = 868 * 2 =1736.

Otro procedimiento de multiplicar mentalmente por 8 consiste en añadirle un cero al multiplicando y restarle el duplo de dicho multiplicando (es decir, en definitiva se multiplica por 10 - 2:

217 * 8 = 2170 - 434 = 1736.

Resulta aún más cómodo proceder así:

217 * 8 = 200 * 8 + 17 * 8 = 1600 + 136 = 1736.

Para dividir un número por 4 mentalmente, se divide dos veces por dos. Por ejemplo:
76 / 4 = 38 / 2 = 19.
236 / 4 = 118 / 2 = 59.

20/4 y 36/4 => esto es 5 y 9 = 59.


Para dividir un número por 8 mentalmente, se divide tres veces por dos. Por ejemplo:
464 / 8 = 232 / 4 =116 / 2 = 58.

516 / 8 = 258 / 4 = 129 / 2 = 64’5.

51 / 8 = 6 y 36/8 = 4 y 4/8 = ½ = 0,5 esto es 64,5.


4. Multiplicación por 5 y por 25.

Para multiplicar, mentalmente, un número por 5, se multiplica por 10 es decir, se le añade al número un cero y se divide por dos. Por ejemplo:

74 * 5 = 740 / 2 = 370.

243 * 5 = 2430 / 2 = 1215.

Cuando el número que se multiplica por 5 es par, resulta más cómodo dividir primeramente por 2 y añadir después un cero a la cantidad obtenida. Por ejemplo:
74 * 5 = 74/2 * 10 = 370.

Para multiplicar un número por 25 mentalmente, se multiplica por 100/4, es decir, si el número es múltiplo de cuatro, se divide por 4 y al cociente se le añaden dos ceros. Por ejemplo:

72 * 25 = 72/4 * 100 = 1800  + 0:      R = 0
73 * 25 = 73/4 * 100 = 1800  + 25     R = 1
74 * 25 = 74/4 * 100 = 1800  + 50     R = 2
75 * 25 = 75/4 * 100 = 1800  + 75     R = 3
76 * 25 = 76/4 * 100 = 1900  + 0       R = 0
        Si al dividir el número por 4 queda resto,
cuando el resto es:
             1
se le añade al cociente:
         25
        “
             2
         “
             50
        “
             3
         “
         75

La base, en que funda este procedimiento queda aclarada por el hecho de que 100 / 4 = 25; 200 / 4 = 50; y 300 / 4 = 75. 


5. Multiplicación por 1 ½, por 1 ¼, por 2 ½ y por ¾.

Para multiplicar, mentalmente, un número por 1 ½, se le añade al multiplicando su mitad. Por ejemplo:

34 * 1 ½ = 34 + 17 = 51.

22 * 1 ½ = 22 + 11 = 33.

23 * 1 ½ = 23 + 11 ½ = 34 ½ (34’5).


Para multiplicar, mentalmente, un número por 1 ¼, se le añade al multiplicando su cuarta parte.Por ejemplo:

48 * 1 ¼ = 48 + 12 = 60.

58 * 1 ¼ = 58 + 14 ½ = 72 ½ (72’5).

Para multiplicar un número por 2 ½ mentalmente, al número duplicado se la añade la mitad del multiplicando. Por ejemplo:

18 * 2 ½ = 36 + 9 = 45.

39 * 2 ½ = 78 + 19 ½ = 97 ½ (97’5). Otro procedimiento consiste en multiplicar por 5 y dividir por dos: 18 * 2 ½ = 90 : 2 = 45.

Para multiplicar un número por ¾ mentalmente (es decir, para hallar las ¾ partes de dicho número), se multiplica por 1 ½ y se divide por dos. Por ejemplo:

30 * ¾ = 30 * 1 ½ / 2 = 45 / 2 = 22’5.
30( *¼+¼) = 30/2 + 30/4 = 15 + 15/2 = 22,5.

Una variante de este procedimiento consiste en que al multiplicando se le resta su cuarta parte o a la mitad del multiplicando se le añade la mitad de esta mitad.


6. Multiplicación por 15, por 125, por 75.

La multiplicación por 15, se sustituye por la multiplicación por 10 y por 1 ½ (porque 10 * 1 ½ = 15). Por ejemplo:

18 * 15 = 18 * 1 ½ * 10 = 27 * 10 = 270.

54 * 15 = 54 * 1 ½ * 10 = 810.

La multiplicación por 125 se sustituye por la multiplicación por 100 y por 1 ¼ (porque 100 * 1 ¼ = 125). Por ejemplo:

26 * 125 = 26 * 1 ¼ * 100 = (26 + 6,5)100 = 3250.

47 * 125 = 47 * 100 * 1 ¼ = 4700 + 4700/4 = 4700 + 1175 = 5875.

= (47 + 11,75) * 100; => 58,75 * 100 = 5875.

La multiplicación por 75 se sustituye por una multiplicación por 100 y por ¾ (porque 100 * ¾ = 75). Por ejemplo:

18 * 75 = 18 * 100 * ¾ = 1800 * ¾ = 1800 * 1 ½ / 2 = (1800 + 900)/2 = 1350.

= [(3*18/2)/2]* 100 = [(54/2)/2]* 100 = (27/2) * 100 = 13,5 * 100 = 1350.

Observación: Algunos de los ejemplos citados también pueden resolverse fácilmente por el Procedimiento 1.2.
18 * 15 = 18 * 5 * 3 = 90 * 3 = 270.
26 * 125 = 26 * 5 * 5 * 5 = 130 * 5 * 5 = 650 * 5 = 3250.



7. Multiplicación por 9 y por 11.

Para multiplicar mentalmente un número por 9, se le añade al número un cero y se le resta el multiplicando. Por ejemplo:

62 * 9 = 620 - 62 = 600 - 42 = 558.

73 * 9 = 730 - 73 = 700 - 43 = 657.

Para multiplicar un número por 11 mentalmente, se le añade al número un cero y se le suma el multiplicando. Por ejemplo:

87 * 11 = 870 + 87 = 957.

Otra forma:

53 x 11 = 5(5+3)3 = 583

87 x 11 = 8(8+7)7 = 8+1(5)7 = 957

Cuando la suma de los dos números da mayor que 9 se lleva una unidad.


8. División por 5, por 1 ½ y por 15.

Para dividir mentalmente, un número por 5, se separa con una coma la última cifra del duplo del número. Por ejemplo:

68 / 5 = 136 /10 = 13’6.

237 / 5 = 474 / 10 = 47’4.

Para dividir un número por 1 1/2 mentalmente, se divide por 3 el duplo del número. Por ejemplo:

36 / 1 ½ = 72 / 3 = 24.

53 / 1 ½ =106 / 3 = 35 1/3.

Para dividir un número por 15 mentalmente, se divide por 30 el duplo de dicho número. Por ejemplo:

240 / 15 = 480 / 30 = 48 / 3 =16.

462 / 15 = 924 / 30 = (924/6) / (30/6) = 154/5 = 30’8.

= (924 / 30 = 308 / 10 = 30’8).


9. Elevación al cuadrado.

Para elevar al cuadrado un número terminado en 5 (por ejemplo, 85) se multiplica el número de decenas (8) por sí mismo más una unidad (8 * 9 = 72) y se le añade 25 (en nuestro ejemplo se obtiene 7225). Otros ejemplos:

25*25 => 2 * 3 = 6; =625.

45*45 => 4 * 5 = 20; =2025.

145*145=> 14 * 15 = 210; =21025.

Este procedimiento se deduce de la fórmula

(10X + 5 )² = 100X² + 100X + 25 = 100X* ( X + 1) + 25.

Como ven aparece el "x(x+1) o n(n+1)" como lo veáis mejor.

El procedimiento que hemos indicado puede aplicarse también a las fracciones decimales que terminan en la cifra 5:

8,5² = 72,25        "se hace como si fuera entero y se corre la coma 2 veces la cantidad de decimales "

14,5² = 210,25

0,35² = 0,1225 etc.

Como 0,5 = ½ y 0,25 = ¼, el método de este procedimiento puede utilizarse también para elevar al cuadrado los números que terminan en la fracción ½ :

( 8 ½)² = 72 ¼

(14 ½)² = 210 ¼, etc,

Cuando la elevación al cuadrado se hace mentalmente, suele ser cómodo utilizar la fórmula:

(a ± b)² =a² +b² ± 2 ab. Por ejemplo:

41² = 40² + 1 + 2 * 40 = 1601 + 80 = 1681.

69² = 70² + 1 - 2 * 70 = 4901 - 140 = 4761.

36² = (35 + 1 )2 = 1225 + 1 + 2 * 35 = 1296.

Este procedimiento resulta cómodo cuando los números terminan en 1, 4, 6 y 9.


10. Cálculos por la fórmula (a + b)(a - b) = a² - b²

Supongamos que hay que hacer mentalmente la multiplicación 52 * 48. Nos figuramos estos factores en la forma (50 + 2) * (50 - 2) y aplicamos la fórmula que figura en el encabezamiento:

(50 + 2) * (50 - 2) = 50² - 2² = 2496.

De un modo semejante se procede en general en todos los casos en que uno de los factores resulta cómodo representarlo en forma de suma de dos números, y el otro, en forma de diferencia de estos mismos números.

69 * 71 = (70 - 1) * (70 + 1) = 4899.

33 * 27 = (30 + 3) * (30 - 3) = 891.

53 * 57 = (55 - 2) * (55 + 2) = 3021.

84 * 86 = (85 - 1) * (85 + 1) = 7224.

Este mismo procedimiento puede utilizarse también eficazmente para los cálculos del tipo siguiente:

7 ½ * 6 ½ = (7 + ½) * ( 7 - ½) = 48 ¾

11 ¾ * 12 ¼ = (12 - ¼) * (12 + ¼) = 143 15/16.

Conviene recordar que 37 * 3 = 111. Recordando esto es fácil multiplicar mentalmente el número 37 por 6, 9, 12, etc.

37 * 6 = 37 x 3 * 2 = 222.

37 * 9 = 37 * 3 * 3 = 333.

37 * 12 = 37 * 3 * 4 = 444.

Problemas y Experimentos Recreativos de "Yakov Perelman"

37 * 15 = 37 * 3 * 5 = 555, etc,

Conviene recordar que 7 * 11 * 13 = 1001. Recordando esto es fácil practicar mentalmente multiplicaciones del tipo

77 * 13 = 1001
91 * 11 = 1001
143 * 7 = 1001
77 * 26 = 2002
91 * 22 = 2002
143 * 14 = 2002
77 * 39 = 3003
91 * 33 = 3003
143 * 21 = 3003
77x13n = 1001n
91x11n = 1001n
143x7n = 1001n

Aquí sólo se ha hecho mención de los procedimientos mentales más fáciles y de uso más frecuente de multiplicación, división y elevación al cuadrado. Al practicarlos, el lector reflexivo ideará para sí toda una serie de otros procedimientos que facilitan el trabajo de cálculo.

11. alternativo al 2. Multiplicación por un número de dos cifras.

Veamos como obtenemos:

17 x 15 =; => 10(17+5) =220 = 10(15 + 7); => 220 + (5x7) = 255.

Con la practica sera mucho mas fácil ya que a la final uno no multiplica por 10 si no que solamente suma el 3 del 35 = (7x5) al segundo 2 del 22 = (17+5) = (15+7) para que le de 25 y sabemos que la solución termina en 5 así sera 255.

24 x 27 sera; 7 x4 = 28; asi que termina en 8

20(24+7) = 620 = 20(27+4); => 620 + (7x4) = 648.

Lo podemos resumir asi; se le suman las unidades de uno a el otro numero y el resultado se duplica y a la unidad del resultado se le suma la decena del producto de las unidades. Y como ya sabemos en que unidad termina se la colocamos.

En el ejemplo anterior al 62 le sumamos el 2 del 28 y nos da 64 ahora solo le ponemos el 8 para que sea 648.

17 x 24 =>; 7 x 4 = 28; así que termina en 8

10((24+7)+7) = 10((17+4)+17) = 380; =>; 380 + 28 = 408


15 x 27 =>; 7 x 5 = 35; así que termina en 5

10(27+5+5) = 10((15 + 7)+15) = 370; =>; 370 + 35 = 405

Como ven es mejor usar el numero mayor ya que a esta se le suman las unidades del otro dos veces y listo tenemos el gordo para terminar igual que con los anteriores.

34 x 36 = >; 6 x 4 = 24; asi que termina en 4

30(34+6) = 1200 = 30(36+4); =>; 1200 + (6x4) = 1224


37 x 12 = >; 7 x 2 = 14; así que termina en 4

10(37+2+2+2) = 430 = 10((12+7)+12+12); =.; 430+14=444 = [1(37) + (3x2) = 43] y 14 asi sera 444. (el 3 y el 1 se suman).


Formula general:

ab x cd =10c(ab + d) + 10d(a - c) = pkw ideal a > c; o ab > cd

c*(ab + d) + d*(a – c),,,,,b*d

Opcional c*ab + a*d ,,,,,,,,b*d

= b x d = qv; producto de la unidades donde; ab > cd

así sera ab*cd = pk(w+q)v.


73 x 23 sera; 2*(73 + 3) = 152 + [(7-2)*3 = 15] = 167 y ahora las unidades

3 x 3 = 9 => 167 y 9 serán 1679

Como ven la formula es de utilidad cuando c = 1, o también cuando a=c osea la decena es idéntica.

Caso i) c=1

ab x 1d =>; d x b = qv;

1(ab) + (ad) = pkw y qv así será pk(w+q)v.


Ejemplo:

45 x 13 = >; 3 x 5 = 15 termina en 5;

45 + 4x3 = 57 y 15 así será 5(7+1)5 = 585 !!.


174 x 16 = >; 6 x 4 = 24;

174 + 6x17 = 276 y 24 así será 27(6+2)4 = 2784.

= 180 + 6*16 = 276 etc.


174 X 96 9*(174 + 6) + (17 – 9)*6 y 6*4 = 24

1620 + 48 = 1668 y 24 = >; 2 + 8 = 10 = >; =16704


Caso ii) a = c

ab x ad = >; d x b = qv;

a(ab) + (ad) = pkw y qv así será pk(w+q)v

a(ab + d) = pkw y qv así será pk(w+q)v

24 x 27 = >; 7 x4 = 28;

= 2(24+7) = 62 y 28 6(2+2)8 = 648.

34 x 36 = >; 6 x 4 = 24;

= 3(34+6) = 120 y 24 así será 12(0+2)4 = 1224


12. Suma números seguidos por la fórmula n(n +1)/2

Sumar los números del 1 al 20

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55

11+12+13+14+15+16+17+18+19+20=10x10+(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)= 155

Entonces n = 20 y n+1 =21 y 20/2 = 10 asi 10 x 21 = 210 = (55+155)!


13. Series exponenciales

2n = > 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192,……N……
3n = > 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, 19683, 59049,………… N………..
4n = > 4, 16, 64, 256, 1024, 4096, 16384, 65536, ………………N………………..
5n = > 5, 25, 125, 625, 3125, 15625, 78125, 390625, ……….N…………………….
6n = > 6, 36, 216, 1296, 7776, 46656, 279936, …………N………………………..
7n = > 7, 49, 343, 2401, 16807, 117649, ……………N……………………………..
8n = > 8, 64, 512, 4096, 32768, 262144, ……….N 
9n = > 9, 81, 729, 6561, 59049, .....................N 


14. Números primos (divisibles por 1 y por el mismo)

1 – 2 -3-5-7-11-13-17-19-23-29-31-37-41-43-47-53-59-61-67-71-73-79-83-89-
97-101-103-107-109-113-127-131-137-139-149-151-157-163-167-173-179-181-191-
193-197-199-211-223-227-229-233-239-241-251-257-263-269-271-277-281-283-
293-307-311-313-317-331-337-347-349-353-359-367-373-379-383-389-397-401-
409-419-421-431-433-439-443-449-457-461-463-467-479-487-491-499-503-509-
521-523-541-547-557-563-569-571-577-587-593-599-601-607-613-617-619-631-
641-643-647-653-659-661-673-677-683-691-701-709-719-727-733-739-743-751-
757-761-769-773-787-797-809-811-821-823-827-829-839-853-857-859-863-877-
881-883-887-907-911-919-929-937-941-947-953-967-971-977-983-991-997-1009-

Aquí encontrra los numeros primos hasta 2x106
http://pinux.info/primos/PRIMERS.TXT


15. comprobar el produto

728 = 7+2+8 = 17= 1+7 = 8 x 8
x 17 = 1+7 = 8 8 
12376 = 1+2+3+7+6= 19= 10= 1+0 = 1 = 64= 10 = 1+0= 1

 Lo mismo se cumple para la suma y para la división;

1345 =1+3+4+5 = 13 = 1+3=4
9765 = 9+7+6+5= 27= 2+7=9 
11110 = 4 13= 1+3= 4


REVISADO y editado POR
William hoyos hincapié
Profesional en Matemáticas & Física


        
 “Willcox27”

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He ahí que el hombre creo a dios a su imagen y semejanza
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