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miércoles, 19 de febrero de 2014

Trigonométria sin trucos

Introducción a la trigonométria plana

Aquí no brotan las cosas de la manga del profesor ni aparecen por arte de magia solo son el resultado de la necesidad de saber que pasaría si hago esto o lo otro.




CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO


Definir las relaciones trigonométricas

Como en todo triangulo rectángulo  tenemos que

cos α = ady/hip    => cos α = x/       → x= cos α                            en el triangulo (1,x,y)

sen α = opt/hip     => sen α = y/1     → y= sen α                            en el triangulo (1,x,y)

tan α = opt/ady = y/x = a/1              → a = tan α                            en el triangulo (1,a,b)

sec α = hip/ady = 1/x = b/1              → b = sec α                            en el triangulo (1,a,b)

cot α = ady/opt = x/y = c/1               → c = cot α                   en el triangulo (1,c,d)

csc α = hip/opt = y/x = d/1               → d = csc α                            en el triangulo (1,c,d)


Identidades trigonométricas básicas

Directamente del dibujo (teorema de Pitágoras) se deduce que:

cos²α + sen²α       = 1                                                                                         (1)
1  +      tan²α        = sec²α                                                                                   (2)
1  +      cot²α        = csc²α                                                                                   (3)
csc²α + sec²α       = (cot α + tan α)²                                                                    (4)

Se  puede ver la variación de las funciones haciendo que el triangulo mayor se mueva sin despegar su hipotenusa (cot + tan), del cuadrante circular (ejes x e y).
Podemos notar que el punto (x=cosα, y=senα) se mantiene siempre sobre el contorno semicircular.
Dado que el triangulo solo tiene tres lados, con tres funciones debería ser suficiente pero como pueden notar las ultimas tres se definen para simplificar la notación de los inversos en las ecuaciones largas.
También se utiliza la propiedad de la suma de los ángulos internos de un triángulo.
 α + β + 90º = 180º (en grados).        → α + β + π/2 = π         (en radianes)




Seno y Coseno

cos²α + sen²α = 1
La variación en la pendiente (derivada) de las curvas en sus gráficos es armónica

Derivada de sen α = cos α
Integral de sen α   = - cos α

Derivada de cos α = - sen α
Integral de cos α   = sen α

Las derivadas e integrales de las funciones seno y coseno se hallan fácilmente solo mirando el giro en el círculo trigonométrico.
Ej.; d(- sen α) = - cos α,  solo viendo el giro de las manecillas del reloj de (- sen α)
y la integral de sen α = - cos α, con el sentido inverso del giro de sen α

Debemos recordar, que en el primer dibujo (pag 1) se demostró la posición y veracidad de cada una de las funciones trigonométricas sobre el círculo trigonométrico a partir de su definición; que corresponden a esta y las dos figuras siguientes.

Se puede ver claramente en sus comportamientos por que las llaman armónicas y cíclicas (periódicas).


Tangente y Secante

1 + tan²z  = sec²z         ==>  tan²z – sec²z = 1

La variación en la pendiente de las curvas, de sus gráficos es cuadrática.
Derivada de tan z          =  sec²z                          la hipotenusa al cuadrado
Integral de tan z            = ln sec z = – ln cos z    logaritmo de la hipotenusa

Derivada de (sec z)        = tan z *sec z                 producto de catetos
Integral de (sec z)          = ln (tan z + sec z)        logaritmo de la suma

Vemos como las derivadas e integrales de estas dos funciones están dadas por los lados de este mismo triangulo

Siendo la derivada del cateto              = la hipotenusa al cuadrado
Siendo la derivada de la hipotenusa    = al producto de cateto por hipotenusa

Siendo la integral del cateto                = al logaritmo natural de la hipotenusa
Siendo la integral de la hipotenusa      = al logaritmo natural (cateto + hipotenusa)

Vemos que lo mismo No se cumple para el seno y coseno ya que estas están confinadas dentro del círculo.


Cotangente y Cosecante




1 + cot²z  = csc²z           è   csc²z – cot²z = 1
La variación en la pendiente de las curvas de sus gráficos es cuadrática.
Derivada de cot z           = - csc²z                         - la hipotenusa al cuadrado
Integral de cot z             = - ln csc z = ln sen z     - logaritmo de la hipotenusa

Derivada de csc z           = - cot z csc z                 - producto de catetos
Integral de sec z             = - ln (cot z + csc z)       - logaritmo de la suma

Vemos como las derivadas e integrales de estas dos funciones están dadas por los lados de este mismo triangulo

Siendo la derivada del cateto              = – la hipotenusa al cuadrado
Siendo la derivada de la hipotenusa    = – el producto de cateto por hipotenusa

Siendo la integral del cateto                = – el logaritmo natural de la hipotenusa
Siendo la integral de la hipotenusa      = – el logaritmo natural (cateto + hipotenusa)

Se cumple lo mismo que para el caso anterior (tangente secante) con signo menos.

Vemos que lo mismo No se cumple para el seno y coseno ya que estas están confinadas dentro del círculo





Identidades trigonométricas básicas     (método analítica)

En este apartado deduciremos las mismas ecuación es anteriores pero partiendo de un análisis analítico y no geométrico como ya se hizo.

x = cos α                       y =  sen α                       por el teorema de Pitágoras.

x² + y² = 1²           (Ec de la Circunferencia)  è Reemplazamos  x ^ y en EcC.

cos²α + sen²α       = 1                                                                                         (1)

Dividiendo (1) por cos²α. tenemos (2).  Y para (3) dividimos por sen²α

cos²α /cos²α +  sen²α/cos²α = 1/ cos²α       è  1 + tan²α = sec²α                        (2)

cos²α/ sen²α + sen²α/ sen²α = 1/ sen²α                  è cot²α + 1 = csc²α                         (3)

Ahora si en (1) hacemos           cos²α = 1/sec²α    y        sen²α = 1/csc²α  è

1/sec²α + 1/csc²α = 1                                 è csc²α + sec²α = sec²α csc²α                  (1a)

Ahora si sumamos la Ecs (2) y (3) termino a termino obtenemos

1 + tan²α + cot²α + 1 = sec²α + csc²α                  è tan²α + 2 + cot²α = sec²α + csc²α (2p)

Resolvemos el cuadrado perfecto

(tanα + cotα) ²      = tan²α + 2tanα cotα + cot²α
= tan²α + 2 sen²α/cos²α cos²α/ sen²α + cot²α
= tan²α + 2 + cot²α                                                                 (2q)

Reemplazando (4q) en (4p)  tendremos

(tanα + cotα) ²      = sec²α + csc²α                                                                      (4)

Ahora reemplazando (1a) en (4) tendremos

(tanα + cotα) ²      = sec²α csc²α       = tanα + cotα= secα cscα                           (5)

Expresando las Ecuaciones  2 y 3 en Senos y cosenos tenemos;


sec²α –  tan²α = 1                    è     1/ cos²α – sen²α/cos²α = 1

                                               è     cos²*²α       = cos²α – sen²αcos²α              (2a)

csc²α – cot²α = 1                     è     1/ sen²α – cos²α/ sen²α = 1

                                               è     sen²*²α = sen²α – sen²αcos²α                     (3a)

Para obtener la siguiente identidad sumamos las Ec. 2ª y 3ª lada a lado

sen²*²α + cos²*²α           = (sen²α + cos²α) – 2sen²αcos²α       así;
sen²*²α + cos²*²α           = 1 – 2sen²αcos²α                                                         (6)

Signo de las funciones en los cuatro cuadrantes



Anexo en la parte superior la definición de ángulo en función del arco L y el radio R
                                      α = L/R  radianes
Así el arco total de una circunferencia será 2π/R y el ángulo de toda la circunferencia será Ө = 2πR/R = 2π




Vemos como en el círculo aparecen las funciones seno y coseno con los signos correspondientes a cada cuadrante


Teorema de ángulos complementarios



En el mismo triangulo rectángulo, los ángulos son  α + β +  90° = 180°     así 90°= α + β
Así que  β =  90° - α   y  α =  90°- β.

Si  hallamos las razones trigonométricas  para el ángulo β con los mismos datos del triangulo tendríamos.

cosβ = y/1 = y.     ya que senα = y              →      cosβ = sen(90° – β) = senα
senβ = x/1 = x.     ya que cosα = x             →      senβ = cos(90° – β) = cosα

O lo que es lo mismo las funciones Seno y Coseno son complementarias en el primer cuadrante, ósea el Coseno de un ángulo es igual al Seno de la diferencia de ese ángulo con 90°.

tanβ = x/y = cosα/ senα                              →      tanβ = cot(90° – β). = cotα

cscβ = 1/x = 1/cosα                                   →      cscβ = sec(90° – β) = secα

secβ = 1/y = 1/senα                                    →      secβ = csc(90° – β) = cscα




Funciones de ángulos complementarios (En general)



Como se aprecia en le figura las funciones del ángulo complementario de α  (que es “π/2 –α”), están relacionadas con las funciones del ángulo simple α.

Mirando las dos horizontales vemos que;                       sen(π/2 – α) = cosα

Ahora observando las verticales notamos que;                cos(π/2 – α) = senα

Si extendemos la definición de funciones de ángulos complementarios a todos los cuadrantes  por la forma como cambia la función al operar sobre este ángulo, veríamos que son complementarios todos los ángulos de la forma  (π/2 ± α) y (3π/2 ± α).

Ósea todos los ángulos θ que están entorno de un múltiplo impar de π/2,

θ = [(2n+1)π/2 ± α]

sen((2n+1)π/2 ± α)     = (1)cosα               (1)

cos((2n+1)π/2 ± α)     = ± (1)senα               (2)

Cambia la función y el signo lo da el cuadrante de θ




Circulo con todos los ángulos       θ = [(2n+1)π/2 ± α]


Para las funciones de los ángulos complementarios, ya sabemos que cambia la función ósea de seno a coseno, y de coseno a seno y el signo solo dependerá del signo de la función del ángulo complementario correspondiente ya que tanto seno como coseno son positivos en el primer cuadrante.
De las dos ecuaciones generales anteriores se obtienen los valores siguientes;

sen(π/2 – α)                   = cosα                  cuadrante    I                  senx es positivo
cos(π/2 – α)          = senα                  cuadrante    I                  cosx es positivo
sen(π/2 + α)                  = cosα                  cuadrante    II                senx es positivo
cos(π/2 + α)                   = – senα               cuadrante    II                cosx es negativo
sen(3π/2 – α)        = – cosα               cuadrante    III               senx es negativo
cos(3π/2 – α)        = – senα               cuadrante    III               cosx es negativo
sen(3π/2 + α)       = – cosα               cuadrante    IV               senx es negativo
cos(3π/2 + α)       = senα                  cuadrante    IV               cosx es positivo

Donde x es un ángulo que pertenece a cualquier cuadrante medido desde cero (el inicio)




Funciones de ángulos suplementarios



Como se aprecia en le figura las funciones del ángulo suplementario de α
(Que es “π  –α”), están relacionadas con las funciones del ángulo simple α.

Mirando las dos verticales vemos que;                           sen(π/2 – α) = senα

Ahora observando las horizontales notamos que;            cos(π/2 – α) = – cosα

Si extendemos la definición de funciones de ángulos suplementarios a todos los cuadrantes  por la forma como cambia la función al operar sobre este ángulo, veríamos que son complementarios todos los ángulos de la forma  (π ± α) y (2π ± α).

Ósea todos los ángulos θ que están entorno de un múltiplo par de π/2,

θ = [(2n)π/2 ± α]

sen((2n)π/2 ± α)          = ± (1)senα                        (3)

cos((2n)π/2 ± α)          =  (1)cosα                          (4)

Se conserva la función y el signo lo sabemos del comportamiento positivo o negativo las funciones trigonométricas seno y coseno en ese cuadrante de θ







Circulo con todos los ángulos       θ = [(2n)π ± α]


Para las funciones de los ángulos suplementarios, ya sabemos que no cambia la función ósea  seno = seno, y coseno a coseno y el signo solo dependerá del signo de la función del ángulo suplementario correspondiente ya que tanto seno como coseno son positivos en el primer cuadrante.
De las dos ecuaciones anteriores (3) y (4), se obtienen los valores siguientes;

sen(2π + α)          = senα                  cuadrante    I                  senx es positivo
cos(2π + α)          = cosα                  cuadrante    I                  cosx es positivo
sen(π – α)             = senα                  cuadrante    II                senx es positivo
cos(π – α)             = – cosα               cuadrante    II                cosx es negativo
sen(π + α)            = – senα               cuadrante    III               senx es negativo
cos(π + α)            = – cosα               cuadrante    III               cosx es negativo
sen(2π – α)           = – senα               cuadrante    IV               senx es negativo
cos(2π – α)           = cosα                  cuadrante    IV               cosx es positivo

Para los signos, se cumple el mismo orden de los ángulos complementarios
Donde x es un ángulo que pertenece a cualquier cuadrante medido desde cero (el inicio)




Función suma de dos ángulos cos(α+β)

Nuestro cometido es aplicar el teorema de Pitágoras al triangulo grande dentro del circulo para ello debemos saber que el lado mayor es igual a (cosθ + 1) y la hipotenusa es D. Como vemos θ+α+β = π, así que θ = π – (α+β). Por lo tanto hallemos primero D ayudándonos del grafico de la derecha.

D²     = (senα + senβ)² + (cosβ – cosα)²
         = sen²α + 2senαsenβ+  sen²β + cos²β –2cosβcosα  + cos²α
            = (sen²α + cos²α) + (sen²β + cos²β) – 2(cosβcosα –  senαsenβ)
D²     = 2 – 2(cosβcosα – senαsenβ)           (1)     è del triangulo mayor.

D²     = sen²θ + (cosθ + 1)²      =  sen²θ + cos²θ + 2cosθ + 1 = 1 + 2cosθ + 1
D²     = 2 + 2cosθ                                               (2)

Dado que la ecuación (1) es igual a (2) tenemos

2 + 2cosθ = 2 – 2(cosβcosα – senαsenβ)
cosθ                      = – (cosβcosα – senαsenβ)                reemplazamos θ = π – (α+β)
cos [π – (α+β)]     = – (cosβcosα – senαsenβ)                hacemos cos (π-x) = – cos x
 – cos (α+β)         = – (cosβcosα – senαsenβ)                eliminamos el signo menos.
cos (α+β)            = (cosβcosα – senαsenβ)


Función diferencia de dos ángulos cos(α – β)

cos (α+β)    = cosβcosα – senαsenβ            hacemos β = –β

cos (α–β)     = cos(–β)cosα – senαsen(–β)   propiedad par e impar de cos y sen.

cos (α–β)     = cosβcosα – senα(–)senβ        producto de signos  (–)x(–) = +;              

cos (α–β)   =  cosβcosα + senαsenβ
Es simple de recordar en el coseno se conserva la función mas no el signo.

Función suma de dos ángulos sen(α+β)

Para calcular el sen(α+β) debemos reemplazar en la anterior Ec del cos (α+β)  
α = π/2 – θ; y β =  – φ;           entonces quedara así,

cos [(π/2 – θ)+ (– φ) ]   =  cos(π/2 – θ)cos(– φ)   sen( π/2 – θ)sen(– φ)

cos [(π/2 – (θ + φ) ]       =  cos(π/2 – θ)cos(– φ)   sen( π/2 – θ)sen(– φ)

Aplicando la regla de ángulos complementarios,  cos(π/2 – x)= senx; y
 sen(π/2 – x) = cosx;
 y las propiedades par e impar del coseno y seno respectivamente;
         è cos(–x) = cosx;         y sen(–x) = – senx;.

sen(θ + φ)   =  sen θcosφ cos θ(–)senφ              producto de signos  (–)x(–) = +;

sen(θ + φ) =  sen θcosφ + cos θsenφ)

Función diferencia de dos ángulos sen(θ – φ)

sen(θ + φ)   =  sen θcosφ + cos θsenφ        hacemos  φ = – φ

sen(θ – φ)   =  sen θcos(– φ) + cos θsen(– φ)      propiedad par e impar de cos y sen.

sen(θ – φ)   =  sen θcosφ + cos θ(–)sen φ            producto de signos  (+)x(–) = –;

sen(θ – φ) =  sen θcosφ – cos θsen φ
Función del ángulo doble

Para calcular el sen(2x) debemos reemplazar en la ecuación anterior del sen (α+β)
“α = x”      y “β = x”:

sen(θ + φ)   =  sen θcosφ + cos θsenφ                  entonces quedara así

sen(x + x)   =  sen xcosx + cos xsenx                   agrupando términos

sen(2 x)      =  2sen xcosx

Para calcular el cos(2x) debemos reemplazar en la ecuación anterior del cos (α+β)
“α = x”      y “β = x”:

cos (α+β)    = cosβcosα – senαsenβ                      entonces quedara así

cos (x + x)   = cosxcosx – senxsenx                       agrupando términos

cos (2x)       = cos²x – sen²x               = cos²x – (1 - cos²x)       agrupando

cos (2x)       = 2cos²x – 1                  (1)     = (1 – sen²x) – sen²x      agrupando

cos (2x)       = 1 – 2sen²x         (2)

Función del ángulo medio

Para calcular el cos(x/2) debemos despejar en la ecuación anterior (1) el cos²x

cos²x           = (cos (2x) – 1)/2          ahora hacemos x = x/2 y radicamos

cos(x/2)       = √[cos (x) – 1)/2]                            = {cos (x) – 1)/2}¹/²

Para calcular el sen(x/2) debemos despejar en la ecuación anterior (2) el sen²x

sen²x           = (1 – cos2x)/2              ahora hacemos x = x/2 y radicamos

sen(x/2)      = √[(1 – cos (x))/2]                  = {(1– cos (x))/2}¹/²





Función adición del coseno ósea cos a ± cos b

Para el caso positivo vamos a sumar termino a termino las Ecs cos(α ± β) así

cos (α+β)                       = cosβcosα – senαsenβ
cos (α–β)                       = cosβcosα + senαsenβ            sumamos por la vertical

cos (α+β) + cos (αβ)    = 2 cosβcosα (1) el segundo termino del lado derecho se anula

Ahora como queremos que a = α+β (2)     y        b = α–β (3)        entonces

Despejamos α de (3) y lo reemplazamos en (2) así podemos despejar β

α =b + β    → a = (b + β) +β        → a = b + 2β              → β = (a – b)/2

Ahora despejamos β de (3) y lo reemplazamos en (2) así podemos despejar α

β = α – b   → a = α+ (α – b)        → a = 2α – b)             → α = (a + b)/2

Ahora si reemplazamos los valores de α y β en la ecuación (1) obtenemos:

cos (α+β) + cos (αβ)    = 2 cosβcosα        = 2 cosαcosβ

cos (a) + cos (b)          = 2 cos((a + b)/2)cos((a – b)/2)

Para el caso negativo vamos a restar termino a termino las Ecs cos(α ± β) así

cos (α+β)                       = cosβcosα – senαsenβ
cos (α–β)                       = cosβcosα + senαsenβ                     restamos por la vertical

cos (α+β) cos (αβ)     = 2 senαsenβ (4) el primer termino del lado derecho se anula

Ahora si reemplazamos los valores de α y β en la ecuación (4) obtenemos:

cos (a) – cos (b) = – 2 sen((a + b)/2) sen((a – b)/2)

Solo nos resta hacer lo mismo para el seno



Función adición del seno ósea      sen a ± sen b

Para el caso positivo vamos a sumar termino a termino las Ecs sen(α ± β) así

sen(θ + φ)                      =  senθcosφ + cosθsenφ
sen(θ φ)                      =  senθcosφ – cosθsenφ                    sumamos por la vertical

sen(θ + φ) + sen(θ φ)  = 2 senθcosφ (5) el segundo termino del lado derecho se anula

Ahora si reemplazamos los valores de α y β en la ecuación (5) obtenemos:

sen (a) + sen (b)                   = 2 sen((a + b)/2) cos((a – b)/2)

Para el caso negativo vamos a restar termino a termino las Ecs sen(α ± β) así

sen(θ + φ)                      =  senθcosφ + cosθsenφ
sen(θ φ)                      =  senθcosφ – cosθsenφ                    restamos por la vertical

sen(θ + φ) sen(θ φ)  = 2 cosθsenφ (6) el primer termino del lado derecho se anula

Ahora si reemplazamos los valores de α y β en la ecuación (6) obtenemos:

sen (a) – sen (b)          = 2 cos((a + b)/2) sen((a – b)/2)

Se nota como para el coseno la función diferencia es negativa y para el seno es positiva, seguro debido a que el coseno es par, ósea positivo para un ángulo negativo.

Como pueden ver hemos ido obteniendo todas las ecuaciones en una forma hilada siempre hallando esta a partir de la anterior, en un proceso constructivo.

Aquí no brotan las cosas de la manga del profesor ni aparecen por arte de magia solo son el resultado de la necesidad de saber que pasaría si hago esto o lo otro.










Razones trigonométricas de  30°


Si el ángulo α = 30° => para calcular las razones trigonométricas en el triangulo ABC (abc), hacemos una imagen especular de este sobre el eje X. Con lo cual obtenemos un triangulo equilátero, ya que el nuevo triangulo ABB' (abb') tiene dos lados iguales al radio del circulo que es r =1, y 2α = 60° y como β = β' = 60°. Por lo tanto los tres lados son iguales y su valor es 1, y el lado opuesto a 2α es igual a 2y.

2y = 1, => y = 1/2 = 0,5                    Así    →y =senα = 1/2

Ahora regresamos a nuestro triangulo inicial para calcular el valor del cateto adyacente por el teorema de Pitágoras, “Xptg” tenemos.

x² + y² = r²     => (1/2)² +  x² = 1     =>    x² = 1- 1/4 = 3/4      => x = ?3/2

Asi, cosα = ?3/2  ? 0,866025

=> tanα = y/x = senα α /cosα = (1/2)/(?3/2) = 1/?3 = ?3/3 ? 0,577





Razones trigonométricas de  45°



En un triangulo rectángulo con un ángulo de 45°, el otro ángulo también vale  45° y por lo tanto los dos catetos son iguales así que, opuesto es igual a adyacente ==> x = y.

x² + y² = 1²    y como x = y è 2x² = 1       Así que  x² = 1/2            è x = 1/

cos 45° = x = 1//2     = 0,707

sen 45° = cos 45° =  /2       = 0,707

tan 45° = x/x = 1                      è cot 45° = x/x = 1

sec 45° = 1/x =                   è cot 45° = 1/y =






Definición de números complejas

Los números complejos surgen de la necesidad de extender en un marco general a los recientes llegados, números imaginarios que aparecen como solución a   (√-1) = i
Sea cualquier numero real “a” entonces -a = (√-1)(√a) = i(√a). Esto es un imaginario.
Cuando observamos los dos conjuntos numéricos, el conjunto de los reales y el conjunto de los imaginarios puros, vemos que los podemos representar a unos en la recta real y los imaginarios en una recta que llamaremos (i) recta de los números imaginarios.

Así aparecen los números complejos que son todos aquellos que pertenecen al plano generado por la recta real y la recta de los imaginarios.

Llamaremos a los números complejos con la letra Z

Z = a + ib             donde  a es la parte real y (ib) será la parte imaginaria.
Ósea que un número complejo es como un vector que tiene una componente en el eje real y otra en el eje de los imaginarios.

También hay otra forma de escribir un numero complejo en coordenadas angulares

Z = Rcosθ + iRSenθ == R(Cosθ + iSenθ) = a + ib = a + iθ ==> θ E R                     
 eZ  = e a + = e a e = R e= R(Cosθ + iSenθ).  Ahora hacemos  R = 1. ==>

Hay varias maneras de probar que   e=  Cosθ + iSenθ
Una de ellas es remplazando en la expansion en seria de Taylor de la expponencial y separando las partes real e imaginaria.
Otra es comprobando la primera y segunda derivadas de la exponencial imaginaria para darnos cuenta que las únicas funciones que cumplen son Seno y coseno.

e         = Cosθ + iSenθ                                                                                        (3)

e         = Cosβ + iSenβ                                                                                        (4)

Si multiplicamos entre si los lados izquierdos de las ecuaciones (3) y (4)      tenemos.

e e =  ei(β+θ) =  Cos(θ+β) + iSen(θ+β)                                                            (5)

Si multiplicamos entre si los lados derechos de las ecuaciones (3) y (4)       tenemos

(Cosθ + iSenθ)(Cosβ + iSenβ) =  CosθCosβ + i2 SenθSenβ +  iSenβCosθ +  iSenθCosβ

Ya que  i2 = -1                                                               obtenemos la ecuación (6)

(Cosθ + iSenθ)(Cosβ + iSenβ) = (CosθCosβ – SenθSenβ) + i(SenβCosθ + Senθ Cosβ)

Dado que (5) y (6) son iguales, ya que fueron obtenidas al multiplicar lado a lado las igualdades (3) y (4);
Entonces igualaremos los lados derechos de (5) y (6) entre si.

Cos(θ+β)+ iSen(θ+β)= (CosθCosβ – SenθSenβ)+ i(SenβCosθ + SenθCosβ)

Separando los reales de los imaginarios

Cos(θ+β) = CosθCosβ – SenθSenβ

iSen(θ+β) = i(SenβCosθ + SenθCosβ) ahora podemos eliminar la i en ambos lados.

Y ya tenemos la ecuaciones seno y coseno para la suma de dos angulos.

Sen(θ+β)   = SenβCosθ + SenθCosβ
Cos(θ+β)   = CosθCosβ – SenθSenβ

Para deferencia solo hay que hacer β = – β con coseno par y seno impar →

Sen(θβ)     = SenβCosθ + SenθCosβ
Cos(θβ)     = CosθCosβ – SenθSenβ

Sen(θβ)     = SenβCosθ + SenθCosβ
Cos(θβ)     = CosθCosβ –(–) SenθSenβ

Sen(θβ)    = SenθCosβ – SenβCosθ
Cos(θβ)   = CosθCosβ + SenθSenβ











Trigonometria aplicada a triangulos

Teorema del coseno



Tomamos un triangulo cualquiera y trazamos una perpendicular a uno de sus catetos por lo tanto los dos triángulos resultantes son rectángulos (lo he dibujado así para facilitar el grafico y mostrar la perpendicular a los tres lados “a, b, c”)
Si miramos cada triangulo individualmente vemos que los valores de los lados cortos o catetos se hallan en función del ángulo del triangulo de color.
En cada uno de los tres triángulos se aplica el teorema de Pitágoras al triangulo en blanco

Comencemos aplicando el teorema de Pitágoras al triangulo en blanco del dibujo de la izquierda

a²      = c²sen²α + (b – c cosα)²                           resolviendo el binomio cuadrado →

a²      = c²sen²α + b² –2bccosα + c²cos²α             agrupando para  c²

a²      = c²(sen²α + cos²α) + b² –2bccosα             y dado que sen²α + cos²α =1 →

a²      = b² + c²–2bccosα

Hemos obtenido el teorema del coseno para cualesquiera tres lados “a,b,c” de cualquier triangulo. Donde expresamos el valor de un lado cualquiera en función de los otros dos lados y el coseno del ángulo entre estos.

En el siguiente triangulo lo puedes hacer para y en tercero lo haces para

b²      = a² + c²–2accosβ
c²       = b² + a²–2abcosφ





Teorema del seno


Igual que en el teorema del coseno tomamos un triangulo cualquiera y trazamos una perpendicular a uno cualquiera de sus lados (h, h′, h′′)

En el triangulo I expresamos h en función de (c, α) y (a, φ)

h       = csenα       = asenφ      →      (c/senφ) = (a/senα)                                    (1)

En el triangulo II expresamos h′ en función de (b, α) y (a, β)

h′      = bsenα      = asenβ      →      (b/senβ) = (a/senα)                                    (2)

En el triangulo III expresamos h′′ en función de (b, φ) y (c, β)

h′′     = bsenφ      = csenβ       →      (b/senβ) = (c/senφ)                                    (3)

De (1) y (2) tenemos que:
                                               (c/senφ) =   (b/senβ)                                            A
De (2) y (3) tenemos que:
                                               (a/senα) =   (c/senφ)                                            B
De (1) y (3) tenemos que:
                                               (a/senα) =   (b/senβ)                                            C

Igualmente de (A) y (C)  tenemos que:

                                               (a/senα) = (b/senβ) = (c/senφ = k)

Que es el teorema del seno.




Hallemos el valor de la constante k

 


Primero que todo recordemos que el ángulo β entre dos cuerdas secantes en una circunferencia de radio r, es igual a la mitad del ángulo φ del arco que delimitan.

Ahora si hacemos φ = 180º entonces  β será igual a 90º un ángulo recto

Si en el teorema del seno hacemos b = 2r, siendo r el radio de la circunferencia circunscrita y de todos los infinitos triángulos de lados a, b, c. escogemos solo aquellos cuyo ángulo β sea el formado por los dos catetos del triangulo inscrito en una semicircunferencia de diámetro 2r.

Ósea confinamos el triangulo a la semicircunferencia de radio r, por lo tanto dado que (2r  = b) es la cuerda que une las dos secantes que forman el ángulo β y 2r extiende un ángulo de 180º el ángulo β siempre valdrá 90º.                   Así:

(b/sen β)     = (2r/sen90º)         = 2r/1          = 2r                                         por lo tanto.

(a/senα) = (b/senβ) = (c/senφ =   2r)




Calculo de acuaciones de quinto grado





Realizado por William hoyos hincapié
 “Willcox27”

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He ahí que el hombre creo a dios a su imagen y semejanza

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